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前言1

第一章 数学与人类文明1

1.1.1 数学的内容1

1.1.2 数学的特点2

1.1.3 数学对人类文明的贡献3

1.1.4 数学发展简史4

1.1.5 现代数学发展的新趋向12

1.1.6 计算机的影响13

1.1.7 关于中等教育13

第二章 数系15

2.1 无理数的诞生16

2.1.1 自然数16

2.1.2 代数结构的出现20

2.1.3 逆运算的作用21

2.1.4 有理数的稠密性22

2.1.5 有理数域23

2.1.6 第一次数学危机25

2.1.7 历史意义27

2.1.8 第一次数学危机的消除28

2.1.9 层次28

2.1.10 反证法29

习题30

2.2 无限的比较31

2.2.1 一段富有启发性的历史对话31

2.2.2 对谈话的分析和解答33

2.2.3 有理数集是可数的36

2.2.4 实数集是不可数的39

2.2.5 代数数40

2.2.6 无限的算术43

2.2.7 结语44

习题45

2.3 复数46

2.3.1 复数的引进46

2.3.2 复数的几何表示46

2.3.3 复数的三角表示和指数表示48

2.3.4 复数域48

2.3.5 乘方与开方50

2.3.6 单位根52

2.3.7 复数的确认56

习题57

第三章 连分数及其在天文学上的应用58

3.1 从祖冲之的圆周率谈起58

3.1.1 辗转相除法58

3.1.2 祖冲之的约率22/7和密率355/11360

3.1.3 连分数60

3.1.4 约率和密率的内在意义67

习题69

3.2 连分数在天文学上的应用69

3.2.1 为什么四年一闰，而百年又少一闰69

3.2.2 公历的改革71

3.2.3 农历的月大月小、闰年闰月74

3.2.4 二十四节 气75

3.2.5 闰月放在哪儿76

3.2.6 日月食77

3.2.7 日月合璧，五星联珠，七曜同宫79

3.2.8 干支记年80

3.3 连分数的性质83

3.3.1 渐近分数的性质83

3.3.2 渐近分数的表达式84

3.3.3 渐近分数的极限87

3.3.4 连分数的几何解释89

3.3.5 最佳逼近90

3.3.6 方程x2=ax+1的解94

3.3.7 斐波那契级数94

第四章 素数定理与哥德巴赫猜想98

4.1 初等数论初步98

4.1.1 数论是什么98

4.1.2 数论的一个特点：表面简单，实际难99

4.1.3 素数与合数99

4.1.4 素数表100

4.1.5 算术基本定理102

4.1.6 另一种“算术”104

4.1.7 最大公因数105

4.1.8 函数［x］，｛x｝105

4.1.9 费马素数108

4.1.10 完全数与梅森数110

4.1.11 高斯的功绩116

习题117

4.2 素数定理与哥德巴赫猜想118

4.2.1 素数定理118

4.2.2 哥德巴赫猜想121

4.2.3 有关素数的12个问题125

第五章 从勾股定理到费马大定理126

引言126

5.1 一次不定方程128

5.1.1 通解公式128

5.1.2 整数的模130

5.1.3 可解的充要条件132

5.1.4 如何求二元一次方程的解133

5.1.5 二元一次方程的非负解135

5.1.6 多元一次不定方程138

习题140

5.2 勾股定理140

5.2.1 问题140

5.2.2 第一个重要定理——勾股定理140

5.2.3 勾股定理的几何方面144

5.2.4 勾股定理的数论方面145

5.2.5 初等方法147

5.2.6 几何方法149

5.2.7 高斯的复整数151

5.2.8 类数问题154

5.2.9 高斯复整数法155

5.3 与勾股定理有关的问题156

5.3.1 已知x边求本原三角形156

5.3.2 已知y边求本原三角形157

5.3.3 已知z边求本原三角形158

习题162

5.4 费马大定理163

5.4.1 费马和费马大定理163

5.4.2 无穷递降法165

5.4.3 n=4的费马定理166

5.4.4 n=3的情形168

5.4.5 初等方法的结束169

5.4.6 热尔曼的贡献169

5.4.7 库默尔的工作和理想数172

5.4.8 从丢番图到维尔斯173

5.4.9 费马大定理的推广176

第六章 欧氏几何回顾178

6.1 欧几里得几何178

6.1.1 欧氏几何的诞生178

6.1.2 《几何原本》的历史背景180

6.1.3 欧氏几何的内容180

6.1.4 欧氏几何的优缺点182

6.1.5 欧氏几何的历史地位184

6.1.6 几何学在中学数学教育中的地位184

6.2 尺规作图问题185

6.2.1 几何三大难题185

6.2.2 用尺规可作什么图186

6.2.3 有理数域的扩张187

6.2.4 一般讨论189

6.2.5 代数知识191

6.2.6 三大难题的解195

习题198

6.3 正多边形作图198

6.4 平行公设引起的思考200

6.4.1 从《几何原本》诞生到18世纪201

6.4.2 非欧几何的孕育时期202

6.4.3 非欧几里得几何的诞生205

6.4.4 罗巴切夫斯基的解答206

6.4.5 非欧几何的相容性207

6.4.6 黎曼的非欧几何208

6.4.7 欧氏几何与非欧几何209

6.4.8 爱尔兰根纲领211

6.4.9 各种几何与物理空间212

第七章 同余理论及其应用215

7.1 同余式的性质215

7.1.1 同余的定义215

7.1.2 同余式的基本性质216

7.1.3 同余式的四则运算218

7.1.4 同余式的方幂220

7.1.5 检查因数的方法222

7.1.6 弃九法（验算整数计算结果的方法）224

7.1.7 剩余类与完全剩余系226

习题228

7.2 中国剩余定理229

7.2.1 同余式229

7.2.2 中国剩余定理232

7.2.3 程大位的口诀235

习题238

7.3 费马小定理和欧拉定理238

7.3.1 费马小定理238

7.3.2 简化剩余系与欧拉函数241

7.3.3 欧拉定理244

7.3.4 对循环小数的应用245

习题248

7.4 同余式的应用249

7.4.1 在密码学上的应用249

7.4.2 素数鉴别258

7.4.3 星期数261

7.4.4 公式的证明263

7.4.5 循环程序排列265

习题266

第八章 分形与混沌267

8.1 漫游分形267

8.1.1 引言267

8.1.2 海岸线的长度269

8.1.3 科克曲线270

8.1.4 皮亚诺曲线271

8.1.5 分数维273

8.1.6 几种基本的规则分形275

8.1.7 自然界中的分形278

8.2 奇妙的混沌282

8.2.1 混沌的定义282

8.2.2 混沌的发现283

8.2.3 蝴蝶效应283

8.2.4 线性与非线性284

8.2.5 函数的迭代285

8.2.6 人口模型287

8.2.7 逻辑斯蒂映射288

8.2.8 茹利亚集293

8.2.9 芒德布罗集295

第九章 一笔画和邮递路线问题300

9.1.1 问题的提出300

9.1.2 一笔画问题302

9.1.3 哥尼斯堡七桥问题303

9.1.4 网络305

9.1.5 一笔画定理307

9.1.6 多笔画312

9.1.7 偶网络313

9.1.8 再论邮递路线问题314

9.1.9 奇偶点网上作业法315

9.1.10 什么是拓扑学321

9.1.11 欧拉公式324

9.1.12 四色问题326

9.1.13 争论与困惑328

习题329

第十章 代数方程式331

10.1 三次方程与四次方程332

10.1.1 什么是代数332

10.1.2 二次方程333

10.1.3 韦达公式334

10.1.4 三次方程336

10.1.5 实系数的三次方程339

10.1.6 卡尔达诺公式小史341

10.1.7 三次方程解法总结341

10.1.8 四次方程342

10.1.9 五次以上的代数方程345

习题347

10.2 代数基本定理347

10.2.1 引言347

10.2.2 代数基本定理的证明348

10.3 多项式的根的分布问题353

10.3.1 多项式的单根和重根354

10.3.2 罗尔定理和它的推论355

10.3.3 笛卡儿符号定则356

10.3.4 辐角原理359

10.4 实根的近似计算法362

10.4.1 二分法363

10.4.2 插值法364

10.4.3 牛顿法366

习题368

第十一章 双曲几何的庞加莱模型369

11.1 球极平面投影370

11.1.1 直线与圆的复数形式370

11.1.2 复数的球面表示372

11.1.3 球极投影的公式372

11.1.4 球极投影的基本性质374

11.2 分式线性变换375

11.2.1 线性变换375

11.2.2 反演变换377

11.2.3 倒数变换379

11.2.4 分式线性变换381

11.2.5 保角性381

11.2.6 单位圆到自身的分式线性变换383

习题384

11.3 非欧几何的庞加莱模型384

11.3.1 非欧平面385

11.3.2 非欧刚体运动387

11.3.3 罗巴切夫斯基公理系统389

11.3.4 三角形内角和小于180°391

11.3.5 真理性讨论391

第十二章 微积分前期史395

12.1 积分学的早期史397

12.1.1 欧多克索斯的穷竭法397

12.1.2 阿基米德的平衡法399

12.1.3 不可分素方法402

12.1.4 不可分素方法的进一步发展404

12.1.5 刘徽的贡献404

12.1.6 祖暅原理406

12.2 微分学的早期史407

12.2.1 费马以前的工作408

12.2.2 费马求极大、极小值的方法408

12.2.3 费马求切线的方法410

12.2.4 费马在积分学方面的贡献411

12.2.5 巴罗的贡献413

12.2.6 前期史小结415

12.3 牛顿和莱布尼兹416

12.4 光辉的诞生420

第十三章 实数理论422

13.1 第二次数学危机422

13.1.1 英雄世纪422

13.1.2 第二次数学危机423

13.1.3 柯西的功绩425

13.1.4 魏尔斯特拉斯的规划426

13.2 实数集合的基本性质428

13.2.1 从有理数谈起428

13.2.2 戴德金分划431

13.2.3 实数的性质433

13.2.4 实数集合的有序化434

13.2.5 实数集合的连续性435

13.2.6 确界的存在定理437

习题439

13.3 实数的四则运算439

13.3.1 实数和的定义439

13.3.2 对称数441

13.3.3 实数减法的定义442

13.3.4 实数的绝对值442

13.3.5 实数的积的定义443

13.3.6 实数的商的定义444

13.4 根的存在性445

13.4.1 具有有理指数的乘幂445

13.4.2 任何实指数的乘幂447

习题447

第十四章 极限、连续与积分448

14.1 极限论448

14.1.1 单调序列449

14.1.2 区间套定理451

14.1.3 收敛原理453

14.1.4 有限覆盖定理457

14.1.5 极限思想辩证剖析457

14.1.6 函数的极限458

14.1.7 小结459

14.2 函数的连续性460

14.2.1 中间值定理460

14.2.2 函数的最大、最小值定理463

14.2.3 一致连续性464

14.3 黎曼积分467

14.3.1 黎曼积分467

14.3.2 达布和469

14.3.3 达布和的性质469

14.3.4 积分存在的条件471

14.3.5 可积函数类472

第十五章 数学模型476

15.1 选票分配478

15.1.1 何谓悖论478

15.1.2 选举悖论478

15.1.3 选票分配问题480

15.1.4 亚拉巴马悖论482

15.2 体育训练问题484

15.3 指数增长与衰减问题487

15.3.1 一个简单的微分方程487

15.3.2 人口模型488

15.3.3 再论人口模型490

15.3.4 三论人口模型495

习题498

15.3.5 新产品销售模型498

15.3.6 牛顿冷却定律499

15.4 在考古学中的应用501

15.4.1 放射性年龄测定法501

15.4.2 范·米格伦伪造名画案504

小结510

习题512

第十六章 外微分形式513

16.1.1 场论的三个基本公式513

16.1.2 曲面的定向514

16.1.3 外乘积515

16.1.4 微分形式和它的外微分520

16.1.5 在场论中的应用523

习题526

第十七章 数学的真理性527

17.1.1 数学的证明和科学的证明527

17.1.2 数学的公理化528

17.1.3 天衣有缝529

17.1.4 希尔伯特和他的23个问题530

17.1.5 罗素的悖论和第三次数学危机536

17.1.6 20世纪初的一场大辩论538

17.1.7 哥德尔的不完全性定理540

答案与提示542

参考文献551