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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限和连续1

第1节 重要概念、定理和公式的剖析1

一、函数的基本性质1

二、分段函数5

三、反函数5

四、复合函数6

五、初等函数9

六、函数的极限及其连续性9

七、重要公式和定理12

第2节 重要题型的解题方法和技巧19

题型一 未定式的定值法19

题型二 类未定式的计算23

题型三 数列的极限24

题型四 极限式中常数的确定（重点）29

题型五 函数连续或间断点的判定32

第3节 思维定势及综合题解析34

一、思维定势34

二、综合题解析38

习题一39

第二章 导数与微分43

第1节 重要概念、定理和公式的剖析43

一、导数与微分的定义43

二、重要定理45

三、导数与微分的运算法则45

四、基本公式45

五、弧微分与曲率46

六、高阶导数的定义与基本公式47

第2节 重要题型的解题方法和技巧47

题型一 求复合函数的导数或微分47

题型二 求参数方程的导数或微分49

题型三 求隐函数的导数或微分50

题型四 求幂指函数的导数或微分50

题型五 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分51

题型六 求分段函数的导数或微分51

题型七 求高阶导数52

第3节 思维定势及综合题解析56

一、思维定势56

二、综合题解析56

习题二59

第三章 不定积分62

第1节 重要概念、定理和公式的剖析62

一、不定积分的基本概念62

二、基本性质62

三、基本公式63

四、基本积分法64

第2节 重要题型的解题方法和技巧77

题型一 有理函数的不定积分77

题型二 简单无理函数的不定积分78

题型三 三角有理式的不定积分79

题型四 含有反三角函数的不定积分83

题型五 抽象函数的不定积分83

题型六 分段函数的不定积分84

第3节 思维定势及综合题解析85

一、思维定势85

二、综合题解析86

习题三88

第四章 定积分及反常积分92

第1节 重要概念、定理和公式的剖析92

一、基本性质92

二、定理和公式95

三、定积分的计算法98

四、反常积分的基本概念102

第2节 重要题型的解题方法和技巧103

题型一 分段函数的定积分103

题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分105

题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分106

题型四 对称区间上的定积分108

题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分109

题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分110

题型七 已知一定积分，求另一定积分111

题型八 定积分等式的证明112

题型九 定积分不等式的证明120

题型十 计算反常积分125

题型十一 反常积分的判敛126

第3节 思维定势及综合题解析127

一、思维定势127

二、综合题解析128

习题四129

第五章 微分中值定理133

第1节 重要概念、定理和公式的剖析133

第2节 重要题型的解题方法和技巧134

题型一 闭区间上连续函数命题的证明134

题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理137

题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题138

题型四命题f（n）（ξ）＝O的证明139

题型五 欲证结论：至少存在一点ξ？（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立140

题型六 欲证结证：在（a，b），内至少存在 ξ，η（ξ≠η）满足某个代数式143

第3节 思维定势及综合题解析144

一、思维定势144

二、综合题解析146

习题五147

第六章 常微分方程150

第1节 重要概念、定理和公式的剖析150

一、基本概念150

二、二阶线性微分方程解的结构150

三、二阶常系数线性微分方程152

四、n阶常系数线性微分方程152

第2节 重要题型的解题方法和技巧155

题型一 一阶微分方程的计算155

题型二 可降阶的高阶方程的求解161

题型三 计算二阶线性微分方程163

题型四 微分方程的应用166

第3节 思维定势及综合题解析169

一、思维定势169

二、综合题解析169

习题六171

第七章 一元微积分的应用174

第1节 重要概念、定理和公式的剖析174

一、函数的单调增减性定理174

二、函数的极值与最值175

三、函数凹凸性的判别与函数的拐点176

四、微元法及其应用178

第2节 重要题型的解题方法和技巧180

题型一 求函数的极值180

题型二 求函数的最值181

题型三 关于方程根的讨论182

题型四 函数渐近线的求解187

题型五 函数作图188

题型六 求平面图形的面积189

题型七 求立体的体积191

题型八 求平面曲线的弧长192

题型九 求旋转体的侧面积193

题型十 变力做功、引力、液体的静压力194

第3节 思维定势与综合题解析197

一、思维定势197

二、综合题解析198

习题七201

第八章 多元函数微分学204

第1节 重要概念、定理和公式的剖析204

一、二元函数的定义204

二、二元函数的极限及连续性205

三、偏导数、全导数及全微分206

四、基本定理207

五、多元函数的极值209

六、条件极值与无条件极值210

第2节 重要题型的解题方法和技巧210

题型一 简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法210

题型二 复合函数微分法211

题型三 隐函数微分法214

题型四 求无条件极值217

题型五 求条件极值218

题型六 求最值219

第3节 思维定势及综合题解析221

一、思维定势221

二、综合题解析221

习题八222

第九章 重积分224

第1节 重要概念、定理和公式的剖析224

一、基本概念224

二、性质224

三、公式226

四、二重积分的解题技巧227

第2节 重要题型的解题方法和技巧229

题型一 更换二重积分的积分次序229

题型二 选择二重积分的积分次序231

题型三 二重积分坐标系的选择233

题型四 分段函数的二重积分的计算234

题型五二重积分等式的证明237

题型六 二重积分不等式的证明239

第3节 思维定势及综合题解析241

一、思维定势241

二、综合题解析242

习题九243

第十章 函数方程与不等式证明246

第1节 函数方程246

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程246

二、利用极限求解函数方程247

三、利用导数的定义求解方程248

四、利用变上限积分的可导性求解方程248

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解249

六、利用解微分方程的方法求解f（x）250

第2节 不等式的证明252

一、引入参数法252

二、利用微分中值定理253

三、利用函数的单调增减性（重点）255

四、利用函数的极值与最值257

五、利用函数图形的凹凸性258

六、利用泰勒展开式259

七、杂例260

习题十261

第二篇 线性代数264

第一章 行列式264

第1节 重要概念、定理和公式的剖析264

一、排列与逆序264

二、n阶行列式的定义265

三、行列式的基本性质266

四、行列式按行（列）展开定理269

五、重要公式与结论270

第2节 重要题型的解题方法和技巧271

题型一 抽象行列式的计算271

题型二 低阶行列式的计算272

题型三 n阶行列式的计算273

第3节 思维定势与综合题解析279

一、思维定势279

二、综合题解析279

习题一281

第二章 矩阵284

第1节 重要概念、定理和公式的剖析284

一、矩阵的概念284

二、矩阵的运算284

三、逆矩阵的概念287

四、利用伴随矩阵求逆矩阵287

五、矩阵的初等变换与求逆288

六、分块矩阵及其求逆289

七、矩阵的秩及其求法290

第2节 重要题型的解题方法和技巧290

题型一 求逆矩阵290

题型二 求矩阵的高次幂Am292

题型三 有关初等矩阵的命题294

题型四 解矩阵方程295

题型五 求矩阵的秩297

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明298

题型七 关于方阵A可逆的证明298

题型八 与A的伴随阵A有关联的命题的证明299

题型九 关于矩阵秩的命题的证明300

第3节 思维定势与综合题解析302

一、思维定势302

二、综合题解析304

习题二304

第三章 向量310

第1节 重要概念、定理和公式的剖析310

一、向量的概念与运算310

二、向量间的线性关系310

三、向量组的秩和矩阵的秩311

四、向量空间312

五、重要定理与公式314

六、小结314

第2节 重要题型的解题方法和技巧315

题型一 讨论向量组的线性相关性315

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明318

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示324

题型四 有关向量组线性表示命题的证明326

题型五 求向量组的极大线性无关组327

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明329

题型七 与向量空间有关的命题332

第3节 思维定势与综合题解析334

一、思维定势334

二、综合题解析335

习题三336

第四章 线性方程组340

第1节 重要概念、定理和公式的剖析340

一、克莱姆法则340

二、线性方程组的基本概念340

三、线性方程组解的判定341

四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系342

五、线性方程组解的性质342

六、线性方程组解的结构342

第2节 重要题型的解题方法和技巧343

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）343

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论347

题型三 讨论两个方程组的公共解351

题型四 有关基础解系的证明353

第3节 思维定势与综合题解析354

一、思维定势354

二、综合题解析355

习题四360

第五章 特征值和特征向量364

第1节 重要概念、定理和公式的剖析364

一、矩阵的特征值和特征向量的概念364

二、相似矩阵及其性质364

三、矩阵可相似对角化的充要条件365

四、实对称矩阵及其性质365

五、重要公式与结论365

第2节 重要题型的解题方法和技巧366

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量366

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量368

题型三 特征值、特征向量的逆问题369

题型四 相似的判定及其逆问题370

题型五 判断矩阵A是否可对角化372

题型六 有关特征值与特征向量的证明题375

第3节 思维定势与综合题解析377

一、思维定势377

二、综合题解析377

习题五383

第六章 二次型386

第1节 重要概念、定理和公式的剖析386

一、二次型及其矩阵表示386

二、化二次型为标准型386

三、配方法和正交变换法387

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法388

第2节 重要题型的解题方法和技巧391

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质391

题型二 化二次型为标准形392

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数396

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明397

第3节 思维定势与综合题解析399

一、思维定势399

二、综合题解析400

习题六401

附录 课后习题答案详解403

第一篇 高等数学403

第一章 函数、极限和连续403

第二章 导数与微分407

第三章 不定积分411

第四章 定积分及反常积分418

第五章 微分中值定理422

第六章 常微分方程424

第七章 一元微积分的应用430

第八章 多元函数微分学435

第九章 重积分438

第十章 函数方程与不等式证明442

第二篇 线性代数446

第一章 行列式446

第二章 矩阵448

第三章 向量456

第四章 线性方程组461

第五章 特征值和特征向量469

第六章 二次型477