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篇前篇 高数解题的四种思维定势1

第一篇 高等数学7

第一章 函数·极限·连续7

1.1 函数7

一、函数的定义7

二、函数的定义域的求法8

三、函数的基本性质9

四、分段函数14

五、初等函数14

1.2 函数的极限及其连续性18

一、概念18

二、重要定理与公式20

1.3 极限的求法28

一、未定式的定值法28

二、类未定式31

三、数列的极限33

四、极限式中常数的确定（重点）37

五、杂例40

习题一44

第二章 导数与微分48

2.1 定义·定理·公式48

一、导数与微分的定义48

二、定理50

三、导数与微分的运算法则50

四、基本公式51

五、弧微分51

2.2 各类函数导数的求法52

一、复合函数微分法52

二、参数方程微分法53

三、隐函数微分法54

四、幂指函数微分法55

五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法56

六、分段函数微分法56

2.3 高阶导数58

一、定义与基本公式58

二、高阶导数的求法58

习题二61

第三章 不定积分65

3.1 不定积分的概念与性质65

一、不定积分的概念65

二、基本性质65

三、基本公式66

3.2 基本积分法67

一、第一换元积分法（也称凑微分法）67

二、第二换元积分法71

三、分部积分法75

3.3 各类函数积分的技巧及分析80

一、有理函数的积分80

二、简单无理函数的积分81

三、三角有理式的积分83

四、含有反三角函数的不定积分86

五、抽象函数的不定积分87

六、分段函数的不定积分87

习题三89

第四章 定积分及广义积分92

4.1 定积分性质及有关定理与公式92

一、基本性质92

二、定理与公式95

4.2 定积分的计算法99

一、牛顿—莱布尼兹公式99

二、定积分的换元积分法99

三、定积分的分部积分法101

4.3 特殊形式的定积分计算102

一、分段函数的积分102

二、被积函数带有绝对值符号的积分104

三、被积函数中含有“变上限积分”的积分105

四、对称区间上的积分107

五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分108

六、由三角有理式与其它初等函数通过四则或复合而成的函数的积分109

七、杂例111

4.4 定积分有关命题证明的技巧113

一、定积分等式的证明113

二、定积分不等式的证明121

习题四（1）127

4.5 广义积分129

一、基本概念及判敛法则129

二、广义积分的计算及判敛130

习题四（2）134

第五章 中值定理的证明技巧136

5.1 连续函数在闭区间上的性质136

一、基本定理136

二、有关闭区间上连续函数的命题的证法136

习题五（1）138

5.2 微分中值定理及台劳公式139

一、基本定理139

二、台劳公式140

5.3 证题技巧分析143

一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法143

二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法145

三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法150

习题五（2）151

第六章 常微分方程152

6.1 基本概念152

一、微分方程152

二、微分方程的阶152

三、微分方程的解152

6.2 一阶微分方程153

一、各类一阶方程解法一览表153

二、解题技巧及分析154

6.3 可降阶的高阶方程161

一、可降阶的高阶方程解法一览表161

二、解题技巧及分析162

6.4 高阶线性微分方程163

一、二阶线性微分方程解的结构163

二、二阶常系数线性微分方程164

三、n阶常系数线性方程165

四、欧拉方程171

6.5 微分方程的应用172

一、在几何中的应用172

二、在力学中的应用174

习题六175

第七章 一元微积分的应用178

7.1 导数的应用178

一、利用导数判别函数的单调增减性178

二、利用导数研究函数的极值与最值179

三、关于方程根的研究185

四、函数作图189

7.2 定积分的应用192

一、微元法及其应用192

二、平面图形的面积194

三、立体体积196

四、平面曲线的弧长198

五、旋转体的侧面积198

六、变力作功、引力、液体的静压力198

习题七201

第八章 无穷级数204

8.1 基本概念及其性质204

8.2 数项级数判敛法205

一、正项级数？un，（un≥0）敛散性的判别法205

二、交错级数？（-1）n-1 un（un＞0）的判敛法210

三、任意项级数211

四、杂例213

8.3 幂级数217

一、函数项级数的概念217

二、幂级数219

8.4 无穷级数求和225

一、幂级数求和函数225

二、数项级数求和229

8.5 付立叶级数233

一、概念、定理233

二、周期与非周期函数的付立叶级数235

习题八239

第九章 矢量代数与空间解析几何243

9.1 矢量的概念及其性质243

一、概念及其运算243

二、矢量之间的关系244

9.2 平面与直线248

9.3 投影方程253

9.4 曲面方程255

一、柱面与旋转面方程255

习题九259

第十章 多元函数微分学261

10.1 基本概念及定理与公式261

一、二元函数的定义261

二、二元函数的极限及连续性262

三、偏导数、全导数及全微分263

四、基本定理264

10.2 多元函数微分法267

一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法267

二、复合函数微分法267

三、隐函数微分法271

10.3 多元函数微分学在几何上的应用273

一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程273

二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程275

10.4 多元函数的极值276

一、概念、定理与公式276

二、条件极值与无条件极值277

习题十282

第十一章 重积分284

11.1 概念·性质·公式284

一、概念284

二、性质284

三、公式286

11.2 二重积分的解题技巧288

一、？f（x，y）dσ的解题程序288

二、极坐标系中积分限的确定289

三、典型例题分析290

11.3 二重积分的证题技巧297

一、有关等式的证明297

二、二重积分不等式的证明300

11.4 三重积分的计算302

一、？f（x，y，z）dv的解题程序302

二、坐标系的选择302

三、球面坐标系中积分限的确定303

四、更换积分次序304

五、三重积分计算305

习题十一307

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步311

12.1 曲线积分的概念及性质311

一、对弧长的曲线积分311

二、对坐标的曲线积分311

三、两种曲线积分之间的关系312

12.2 曲线积分的理论及计算方法312

一、基本定理312

二、对弧长的曲线积分的计算方法313

三、对坐标的曲线积分∫LP（x，y）dx＋Q（x，y）dy的计算法314

12.3 曲面积分的概念与性质320

一、对面积的曲面积分320

二、对坐标的曲面积分320

三、两种曲面积分之间的关系321

12.4 曲面积分的理论与计算方法321

一、基本定理321

二、对面积的曲面积分的计算法322

三、对坐标的曲面积分的计算法323

12.5 曲面面积的计算法328

12.6 场论初步330

一、概念与公式330

二、例题选讲331

习题十二334

第十三章 函数方程与不等式证明336

13.1 函数方程336

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程336

二、利用极限求解函数方程337

三、利用导数的定义求解方程338

四、利用变上限积分的可导性求解方程338

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解339

六、利用解微分方程的方法求解f（x）340

13.2 不等式的证明343

一、引入参数法343

二、利用微分中值定理344

三、利用函数的单调增减性（重点）346

四、利用函数的极值与最值347

五、利用函数图形的凹凸性349

六、利用台劳展开式349

七、杂例351

习题十三353

第二篇 线性代数356

第一章 行列式356

1.1 行列式的概念356

一、排列与逆序356

二、n阶行列式的定义357

1.2 性质、定理与公式358

一、行列式的基本性质358

二、行列式按行（列）展开定理361

三、重要公式与结论362

1.3 典型题型分析362

题型一 抽象行列式的计算362

题型二 低阶行列式的计算363

题型三 n阶行列式的计算365

1.4 杂例370

习题一372

第二章 矩阵375

2.1 矩阵的概念与运算375

一、矩阵的概念375

二、矩阵的运算375

2.2 逆矩阵378

一、逆矩阵的概念378

二、利用伴随矩阵求逆矩阵379

三、矩阵的初等变换与求逆380

四、分块矩阵及其求逆381

2.3 典型题型分析381

题型一 求逆矩阵381

题型二 求矩阵的高次幂Am．384

题型三 有关初等矩阵的命题386

题型四 解矩阵方程386

题型五 求矩阵的秩388

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明390

题型七 关于方阵A可逆的证明390

题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明391

题型九 关于矩阵秩的命题的证明393

习题二394

第三章 向量400

3.1 基本概念400

一、向量的概念与运算400

二、向量间的线性关系400

三、向量组的秩和矩阵的秩401

四、向量空间402

3.2 重要定理与公式404

3.3 典型题型分析404

题型一 讨论向量组的线性相关性404

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明408

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示414

题型四 有关向量组线性表示命题的证明415

题型五 求向量组的极大线性无关组417

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明420

题型七 与向量空间有关的命题424

习题三425

第四章 线性方程组429

4.1 概念、性质、定理429

一、克莱姆法则429

二、线性方程组的基本概念430

三、线性方程组解的判定430

四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系431

五、线性方程组解的性质431

六、线性方程组解的结构431

4.2 典型题型分析433

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）433

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论436

题型三 讨论两个方程组的公共解441

题型四 有关基础解系的证明443

题型五 综合题444

习题四449

第五章 特征值和特征向量453

5.1 概念与性质453

一、矩阵的特征值和特征向量的概念453

二、特征值与特征向量的计算方法453

三、相似矩阵及其性质454

四、矩阵可相似对角化的充要条件454

五、对称矩阵及其性质454

5.2 重要公式与结论455

5.3 典型题型分析456

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量456

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量457

题型三 特征值、特征向量的逆问题458

题型四 相似的判定及其逆问题460

题型五 判断A是否可对角化462

题型六 综合应用问题464

题型七 有关特征值、特征向量的证明题470

习题五472

第六章 二次型475

6.1 基本概念与定理475

一、二次型及其矩阵表示475

二、化二次型为标准型475

三、用正交变换法化二次型为标准形476

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法476

6.2 典型题型分析479

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质479

题型二 化二次型为标准形480

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数483

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明485

习题六488

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率490

1 基本概念、性质与公式490

一、随机试验和随机事件490

二、事件的关系及其运算490

三、事件的概率及其性质493

四、条件概率与事件的独立性493

五、重要概型495

六、重要公式495

2 典型题型分析496

题型一 古典概型与几何概型496

题型二 事件的关系和概率性质的命题499

题型三 条件概率与积事件概率的计算502

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题503

题型五 有关Bernoulli概型的命题506

习题一507

第二章 随机变量及其分布511

1 基本概念、性质与公式511

一、概念与公式一览表511

二、重要的一维分布514

三、重要的二维分布515

2 典型题型分析516

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题516

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数520

题型三 求一维随机变量函数的分布523

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查526

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论528

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布536

习题二540

第三章 随机变量的数字特征547

1 基本概念、性质与公式547

一、一维随机变量的数字特征547

二、二维随机变量的数字特征549

三、几种重要的数学期望与方差550

四、重要公式与结论551

2 典型题型分析551

题型一 求一维随机变量的数字特征551

题型二 求一维随机变量函数的数学期望555

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征558

题型四 有关数字特征的证明题568

题型五 应用题569

习题三571

第四章 大数定律和中心极限定理575

1 基本概念与定理575

一、切比雪夫不等式575

二、中心极限定理575

三、重要公式与结论576

四、注意576

2 典型题型分析577

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题577

题型二 有关中心极限定理的命题578

习题四581

第五章 数理统计的基本概念583

1 基本概念、性质与公式583

一、几个基本概念583

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布584

三、正态总体下常用统计量的性质584

四、重要公式与结论585

2 典型题型分析586

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量586

题型二 求统计量的分布587

习题五589

第六章 参数估计591

1 基本概念、性质与公式591

一、矩估计与极大似然估计591

二、估计量的评选标准592

三、区间估计593

四、重要公式与结论594

2 典型题型分析595

题型一 求矩估计和极大似然估计595

题型二 评价估计的优劣599

题型三 区间估计或置信区间的命题600

习题六602

第七章 假设检验605

1 基本概念与公式605

一、显著性检验的基本思想605

二、假设检验的基本步骤605

三、两类错误605

四、正态总体未知参数的假设检验606

五、假设检验与区间估计的联系606

2 典型题型分析607

题型一 正态总体的均值和方差的假设检验607

题型二 有关两类错误的命题608

习题七609