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第1章 绪论1

1.1 计算方法的研究内容与意义1

1.2 误差2

1.2.1 误差的主要来源2

1.2.2 误差的基本概念3

1.3 数值方法的稳定性与算法设计原则5

习题17

第2章 非线性方程的数值解法8

2.1 引言8

2.2 根的隔离9

2.2.1 试值法9

2.2.2 作图法9

2.2.3 扫描法10

2.3 对分法10

2.4 迭代法11

2.5 牛顿法15

2.5.1 牛顿法的迭代公式15

2.5.2 简单迭代法与牛顿迭代法的收敛速度16

2.5.3 关于n重根的牛顿法17

2.6 弦割法18

习题219

第3章 线性代数计算方法20

3.1 高斯消去法21

3.1.1 三角形方程组的解法21

3.1.2 高斯消去法22

3.1.3 主元素消去法25

3.1.4 用列主元高斯消去法求行列式值28

3.2 高斯-约当消去法29

3.2.1 高斯-约当消去法的概念29

3.2.2 逆矩阵的计算30

3.3 矩阵的LU分解32

3.3.1 高斯消去法与矩阵的LU分解32

3.3.2 直接LU分解34

3.4 追赶法38

3.5 迭代法41

3.5.1 向量范数和矩阵范数41

3.5.2 迭代法的一般形式44

3.5.3 雅可比迭代法45

3.5.4 高斯-塞德尔迭代法48

3.5.5 迭代法的收敛性50

3.5.6 超松弛迭代法54

3.6 矩阵的特征值与特征向量计算方法55

3.6.1 乘幂法56

3.6.2 原点位移法59

3.6.3 反幂法60

习题362

第4章 插值与拟合66

4.1 插值法概述66

4.1.1 插值法基本概念66

4.1.2 代数插值多项式的存在唯一性67

4.2 线性插值与二次插值67

4.2.1 线性插值68

4.2.2 二次插值68

4.3 Lagrange插值多项式70

4.3.1 Lagrange插值多项式70

4.3.2 插值多项式的余项72

4.4 均差与牛顿基本插值公式73

4.4.1 均差、均差表及均差性质73

4.4.2 牛顿基本插值公式76

4.4.3 均差插值多项式的余项78

4.5 差分与等距节点插值公式79

4.5.1 差分与差分表79

4.5.2 等距节点插值公式81

4.6 分段低次插值84

4.6.1 高次插值的缺陷84

4.6.2 分段线性插值85

4.6.3 分段埃尔米特插值86

4.7 三次样条插值88

4.7.1 三次样条插值的概念88

4.7.2 用节点处的二阶导数值表示的三次样条函数89

4.8 最小二乘法与曲线拟合92

4.8.1 最小二乘法92

4.8.2 多项式拟合95

4.8.3 幂函数型、指数函数型经验公式99

习题4101

第5章 数值微积分105

5.1 Newton-Cotes公式105

5.1.1 Newton-Cotes公式的概念105

5.1.2 低阶Newton-Cotes公式的误差分析109

5.1.3 Newton-Cotes公式的稳定性110

5.2 复合求积公式111

5.2.1 复合Newton-Cotes公式111

5.2.2 复合求积公式的余项112

5.3 变步长求积公式114

5.3.1 变步长求积公式的概念114

5.3.2 变步长梯形公式算法116

5.4 龙贝格求积公式117

5.5 数值微分121

5.5.1 插值型求导公式121

5.5.2 样条求导公式123

习题5124

第6章 常微分方程初值问题的数值解法125

6.1 引言125

6.2 欧拉方法126

6.2.1 欧拉方法概述126

6.2.2 改进的欧拉方法127

6.2.3 局部截断误差和方法的阶128

6.3 龙格-库塔方法130

6.3.1 龙格-库塔方法的基本思想和一般形式130

6.3.2 二阶龙格-库塔方法131

6.3.3 四阶龙格-库塔方法132

6.3.4 变步长的四阶龙格-库塔方法134

6.4 线性多步法135

6.4.1 线性多步法概述135

6.4.2 阿达姆斯方法135

6.5 一阶常微分方程组和高阶常微分方程的数值解法138

6.5.1 一阶常微分方程组的数值解法138

6.5.2 高阶常微分方程的数值解法140

习题6141

参考文献143